三门问题

三个门的其中一扇门后有奖品。你选择其中一扇门，主持人为你打开其余门中的一扇空门，询问你是否要更改自己的选择

直觉告诉我们剩下两扇门后有奖品的概率应该相同，但事实上应该是 1:2

贝叶斯视角

由于问题的对称性，在不损耗 generality 的情况下，我们考虑玩家站在 1 号门的情况

$$P(i=x|j=2)=\frac{P(j=2|i=x)P(i=x)}{P(j=2)}$$

由于 $\frac{P(i=x)}{P(j=2)}$关于 对称，影响比例的主要是不同前置知识下 $j=2$ 事件的的先验概率： $P(j=2|i=1):P(j=2|i=2):P(j=2|i=3)=\frac{1}{2}:0:1=\frac{1}{3}:0:\frac{2}{3}$

误导我们直觉的地方在于，我们把 $j=2$ 当作了不受前置知识影响（宝藏位置 $i=1,2,3$ ）的独立事件，当成了

$$P(j=2|i=1):P(j=2|i=2):P(j=2|i=3)=\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}=1:1:1$$

推广

56 张扑克牌，一张扑克牌是 Joker，玩家选中 1 号牌子，裁判揭开剩余 55 张牌中的 2-55 张，求 Joker 在 1 号，2-55 号，56 号的概率

取 $\{1\},\{x|2\le x\le 55\},\{55\}$ 分别记为事件 $A,B,C$，则

&P(\text{prize in A/B/C} \mid \text{B was flipped and found no Joker}) = \\ &\frac{P(\text{B was flipped and found no Joker} \mid \text{prize in A/B/C}) P(\text{prize in A/B/C})}{P(\text{B was flipped and found no Joker})} \end{align}$$ A : B : C = 1/55 ：0 ：1 = 1 ：0 ：55 ### 概率空间视角 由于问题的对称性，在不损耗 generality 的情况下，我们考虑玩家站在 1 号门的情况 | j \ i | Prize 在第 1 个门后 | Prize 在第 2 个门后 | Prize 在第 3 个门后 | | ----------- | -------------- | -------------- | -------------- | | 主持人打开第 1 个门 | 0 | 0 | 0 | | 主持人打开第 2 个门 | 1/6 | 0 | 1/3 | | 主持人打开第 3 个门 | 1/6 | 0 | 1/3 | 按照定义

\begin{align} P(i=1 | j=2) &= \frac{P(i=1 \cap j =2)}{P(j=2)}=\frac{P(1,2)}{\sum_iP(i,2)}=\frac{1/6}{1/6 + 0 + 1/3} = 1/3\ P(i=2 | j=2) &= \frac{P(i=2 \cap j =2)}{P(j=2)}=\frac{P(3,2)}{\sum_iP(i,2)}=\frac{1/6}{1/6 + 0 + 1/3} = 0\ P(i=3 | j=2) &= \frac{P(i=3 \cap j =2)}{P(j=2)}=\frac{P(3,2)}{\sum_iP(i,2)}=\frac{1/6}{1/6 + 0 + 1/3} = 2/3 \end{align}

$$反直觉的主要问题在于，这不是一个可以靠count计算概率的uniformdistribution，要考虑概率分布$$